Пусть A₁ и C₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AB соответственно, а A' и C' – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол B, с продолжениями сторон BC и AB соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника ABC лежит на A₁C₁ тогда и только тогда, когда прямые A'C₁ и BA перпендикулярны.

   Решение

Подсчитать сумму цифр числа (999..99)³ (в скобке 2002 девятки).

   Решение

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b₁, ..., b_n  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b₁ + k)(b₂ + k)...(b_n + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

   Решение

На отрезке  [0, N]  отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, N],  целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка  [0, N]?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 32]      

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы l_A , l_B , l_C , l_D внешних углов этого четырёхугольника. Прямые l_A и l_B пересекаются в точке K , прямые l_B и l_C – в точке L , прямые l_C и l_D – в точке M , прямые l_D и l_A – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом.

Прислать комментарий

Решение

На отрезке  [0, N]  отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, N],  целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка  [0, N]?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 32]