Версия для печати
Убрать все задачи

---

Ученица 5 класса Катя и несколько её одноклассников встали в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит пять мальчиков, то сколько там стоит девочек?

   Решение

---

Для натурального n обозначим  S_n = 1! + 2! + ... + n!.  Докажите, что при некотором n у числа S_n есть простой делитель, больший 10²⁰¹².

   Решение

---

При передаче сообщений используется некоторый шифр. Пусть известно, что каждому из трех шифрованных текстов ЙМЫВОТСЬЛКЪГВЦАЯЯ УКМАПОЧСРКЩВЗАХ ШМФЭОГЧСЙЪКФЬВЫЕАКК соответствовало исходное сообщение МОСКВА. Попробуйте расшифровать три текста ТПЕОИРВНТМОЛАРГЕИАНВИЛЕДНМТААГТДЬТКУБЧКГЕИШНЕИАЯРЯ ЛСИЕМГОРТКРОМИТВАВКНОПКРАСЕОГНАЬЕП РТПАИОМВСВТИЕОБПРОЕННИГЬКЕЕАМТАЛВТДЬСОУМЧШСЕОНШЬИАЯК при условии, что двум из них соответствует одно и то же сообщение. Сообщениями являются известные крылатые фразы. (Задача с сайта www.cryptography.ru.)

   Решение

---

Постройте треугольник ABC по h_a, b - c и r.

   Решение

---

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?

   Решение

---

На плоскости отметили n  (n > 2)  прямых, проходящих через одну точку O таким образом, что для каждых двух из них найдётся такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведённые прямые делят полный угол на равные части.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110138  (#03.4.9.8)

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110125  (#03.4.10.1)

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108123  (#03.4.10.2)

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110126  (#03.4.10.3)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Задачи с ограничениями ] [ Степень вершины ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На встречу выпускников пришло 45 человек. Оказалось, что любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы друг с другом. Какое наибольшее число пар знакомых могло быть среди участвовавших во встрече?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110127  (#03.4.10.4)

Темы:   [ Биссектриса угла ] [ Наименьший или наибольший угол ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

На плоскости отметили n  (n > 2)  прямых, проходящих через одну точку O таким образом, что для каждых двух из них найдётся такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведённые прямые делят полный угол на равные части.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями