Этапы:
-
Региональный этап
(27 задач)
Заключительный этап
(21 задача)
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Дана треугольная пирамида ABCD . Сфера S1 , проходящая через точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно; сфера S2 , проходящая через точки A , B , D , пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно. Оказалось, что KL|| PQ . Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.
Решение
Убрать все задачи
Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины
которых лежат на окружности.
а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное
число точек самопересечения.
б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не
может иметь.
РешениеДана треугольная пирамида ABCD . Сфера S1 , проходящая через точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно; сфера S2 , проходящая через точки A , B , D , пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно. Оказалось, что KL|| PQ . Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.
Решение
Задачи
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]
При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ ,
являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство
sin nα + sin nβ + sin nγ<0?
Дана треугольная пирамида ABCD . Сфера S1 , проходящая через
точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно;
сфера S2 , проходящая через точки A , B , D ,
пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно.
Оказалось, что KL|| PQ .
Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета
присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
Четырехугольник ABCD описан около окружности.
Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K ,
внешних углов B и C – в точке L ,
внешних углов C и D – в точке M ,
внешних углов D и A – в точке N .
Пусть K1 , L1 , M1 , N1 – точки пересечения высот
треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно.
Докажите, что четырехугольник K1L1M1N1 – параллелограмм.
На столе стоят 2004 коробочки, в каждой из которых лежит по
одному шарику. Известно, что некоторые из шариков– белые, и их
количество четно. Разрешается указать на любые две коробочки и спросить,
есть ли в них хотя бы один белый шарик. За какое наименьшее количество
вопросов можно гарантированно определить какие-нибудь две коробочки, в
которых лежат белые шарики?
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]
Задача 110151 (#04.4.11.7) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 110152 (#04.4.11.8) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109808 (#04.5.9.1) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109809 (#04.5.9.2) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109810 (#04.5.9.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 56]
