Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
2004-2005
>>
Региональный этап
>>
11 Класс
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
Сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел оказалась кубом натурального числа. Докажите, что среднее из этих трёх чисел делится на 4.
Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём ace ≠ 0. Известно, что значения выражений |ax + b| + |cx + d| и |ex + f | равны при всех значениях x.
Докажите, что ad = bc.
Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.
По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.
Известно, что существует число S , такое, что если a+b+c+d=S и
+
+
+
=S ( a , b , c , d отличны от нуля и единицы), то
+
+
+
= S . Найти S .
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 110173 (#05.4.11.1) |
|
|
Найдите все пары чисел x,y (0;
) , удовлетворяющие
равенству sin x+ sin y= sin(xy) .
|
|
Решение |
Задача 110174 (#05.4.11.2) |
|
|
Известно, что существует число S , такое, что если a+b+c+d=S и
+
+
+
=S ( a , b , c , d отличны от нуля и единицы), то
+
+
+
= S . Найти S .
|
|
Решение |
Задача 110181 (#05.4.11.3) |
|
|
Даны N ≥ 3 точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.
|
|
|
Решение |
Задача 110199 (#05.4.11.4) |
|
AA1 и BB1 – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. Известно, что отрезок A1B1 пересекает среднюю линию, параллельную AB, в точке C'. Докажите, что отрезок CC' перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 110175 (#05.4.11.5) |
|
|
Докажите, что для любого многочлена P с целыми коэффициентами и любого натурального k существует такое натуральное n, что P(1) + P(2) + ... + P(n) делится на k.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
