Версия для печати
Убрать все задачи

---

Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M.
Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

   Решение

---

Числа p и q таковы, что параболы  y = – 2x²  и  y = x² + px + q  пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру.
Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

   Решение

---

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

   Решение

---

Алхимик Петя изобрел философский камень, с использованием которого можно проводить некоторое множество алхимических реакций по превращению одних веществ в другие. Масса вещества, которое подвергается превращению, и масса каждого образующегося в результате реакции вещества составляет ровно один грамм. Закон сохранения массы при этом может нарушаться, поскольку Пете он неизвестен.

Изначально у Пети имеется один грамм свинца. С помощью философского камня Петя может превратить свой свинец в другие вещества, на которые он потом также сможет воздействовать философским камнем. Выполняя одну за другой алхимические реакции, Петя стремится получить как можно больше золота. 

Требуется написать программу, определяющую по заданному описанию алхимических реакций, выполняемых философским камнем, наибольшее количество золота, которое может получить Петя.

Входные данные
В первой строке входного файла записано целое число K – количество различных веществ, участвующих и образующихся в алхимических реакциях (2 ≤ K ≤ 100). Вторая строка содержит названия этих веществ, разделенные пробелом (в списке обязательно есть свинец и золото). Названия веществ не длиннее 10 букв. 

В третьей строке записано целое число L – количество типов реакций, выполняемых философским камнем (1 ≤ L ≤ 100). Далее идут L описаний этих реакций. Каждое описание реакции состоит из двух строк: первая строка содержит название вещества, которое подвергается превращению, вторая – названия веществ, получающихся в результате реакции.

Выходные данные
Ваша программа должна вывести в выходной файл либо одно целое число – искомое количество граммов золота, либо сообщение «QUANTUM SATIS» (лат. "Сколько нужно"), если Петя может получить любое наперед заданное количество золота.

Пример входного файла
4
свинец золото рога копыта
3
свинец
золото рога копыта
рога
золото копыта
копыта
золото

Пример выходного файла
4

   Решение

---

Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t₁, ..., t₁₀₀  из S множества   A_j = {x + t_j | x ∈ A;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111042

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема синусов ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  |PQ| = |QR|.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111040

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a² делится на натуральное число  2ab² – b³ + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111043

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111039

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дано 101-элементное подмножество A множества  S = {1, 2, ..., 1000000}.
Докажите, что для некоторых  t₁, ..., t₁₀₀  из S множества   A_j = {x + t_j | x ∈ A;  j = 1, ..., 100}   попарно не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111044

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  n^p – p  не делятся на q.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями