Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]

Задача 111332 (#6)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Чеботарев А.С.

У игрока есть m золотых и n серебряных монет. В начале каждого раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на чёрное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдаёт игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких m и n крупье не сможет ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111338 (#6)

Темы:	[	Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Равносоставленные фигуры	]
	[	Площади криволинейных фигур	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Иванов-Погодаев И.А., Малистов А.С.

Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей.

Прислать комментарий Решение

Задача 111344 (#6)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Обыкновенные дроби	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111350 (#6)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Канунников А.Л.

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A ). Вначале лиса сидит в точке C , а зайцы – в точках B и D . Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v , а зайцы – по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

Прислать комментарий Решение

Задача 111351 (#7)

Темы:	[	Группы движений (самосовмещений) правильных многогранников	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Медиана пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 7-
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем , б) не меньше, чем , в) не меньше, чем ?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]