Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

   Решение

---

Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)

   Решение

---

В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111791  (#07.4.10.5)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В натуральном числе A переставили цифры, получив число B. Известно, что     Найдите наименьшее возможное значение n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111775  (#07.4.10.6)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Точка D на стороне BC треугольника ABC такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников ABD и ACD равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники ABD и ACD , касающихся соответственно отрезков BD и CD , также равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111776  (#07.4.10.7)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дано натуральное число  n > 6.  Рассматриваются натуральные числа, лежащие в промежутке  (n(n – 1), n²)  и взаимно простые с n(n – 1).
Докажите, что наибольший общий делитель всех таких чисел равен 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111777  (#07.4.10.8)

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В клетках таблицы 15×15 изначально записаны нули. За один ход разрешается выбрать любой её столбец или любую строку, стереть записанные там числа и записать туда все числа от 1 до 15 в произвольном порядке – по одному в каждую клетку. Какую максимальную сумму чисел в таблице можно получить такими ходами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111770  (#07.4.11.1)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями