ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



Задача 111785  (#07.4.9.8)

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111770  (#06.4.10.1)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k  (1 ≤ k ≤ 25)  в любых k коробках лежат шарики ровно  k + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111771  (#07.4.10.2)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Для вещественных  x > y > 0  и натуральных  n > k  докажите неравенство  (xk – yk)n < (xn – yn)k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111772  (#07.4.10.3)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

При каком наименьшем n для любого набора A из 2007 множеств найдется такой набор B из n множеств, что каждое множество набора A является пересечением двух различных множеств набора B ?
Прислать комментарий     Решение


Задача 111860  (#07.4.10.4)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Исаев М.

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Отрезки CD и BE пересекаются в точке O. Пусть M и N – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники ADE и ODE. Докажите, что середина меньшей дуги DE лежат на прямой MN.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .