Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111810  (#08.4.9.1)

Тема:   [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Числа a, b, c таковы, что  a²(b + c) = b²(a + c) = 2008  и  a ≠ b.  Найдите значение выражения  c²(a + b).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111811  (#08.4.9.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111812  (#08.4.9.3)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Шестиугольники ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4- Классы: 9

Дан выпуклый шестиугольник P₁P₂P₃P₄P₅P₆, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ и Q₆ соответственно. Докажите, что треугольники Q₁Q₃Q₅ и Q₂Q₄Q₆ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111813  (#08.4.9.4)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Обыкновенные дроби ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена  x² – ax + b  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  ^m/_n.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111814  (#08.4.9.5)

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дано натуральное число  n > 1.  Для каждого делителя d числа  n + 1,  Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями