Версия для печати
Убрать все задачи

---

Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .

   Решение

---

На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

   Решение

---

Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде  x = a^p + b^p  (с натуральными a, b) при всех   p ∈ P   и не представляется в таком виде для любого простого p ∉ P.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111878  (#08.5.11.1)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111862  (#08.5.11.2)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111863  (#08.5.11.3)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде  x = a^p + b^p  (с натуральными a, b) при всех   p ∈ P   и не представляется в таком виде для любого простого p ∉ P.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111864  (#08.5.11.4)

Темы:   [ Шар и его части ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Объем помогает решить задачу ] [ Неравенства с объемами ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111865  (#08.5.11.5)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  x² – ax + b = 0  и  x² – bx + a = 0  имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями