Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

   Решение

---

Доказать, что при любом целом положительном n сумма     больше ½.

   Решение

---

Найдите радиус наибольшей окружности, касающейся изнутри двух пересекающихся окружностей с радиусами R и r, если расстояние между их центрами равно a
(a < R + r).

   Решение

---

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

   Решение

---

Дан многочлен с целыми коэффициентами. В трёх целых точках он принимает значение 2.
Доказать, что ни в какой целой точке он не принимает значение 3.

   Решение

---

В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если  ∠AOB = α,  а радиус круга равен r.

   Решение

---

Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n² равна 100?

   Решение

---

Доказать, что число 100...001, в котором  2¹⁹⁷⁴ + 2¹⁰⁰⁰ – 1  нулей, составное.

   Решение

---

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30^o. Доказать, что треугольник ABC правильный.

   Решение

---

К двум окружностям, касающимся извне, проведены общие внешние касательные и точки касания соединены между собой. Доказать, что в полученном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  x + y = x² – xy + y².

   Решение

---

Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)

   Решение

---

Доказать, что в десятичной записи чисел  2ⁿ + 1974ⁿ и 1974ⁿ  содержится одинаковое количество цифр.

   Решение

---

Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.
Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.

   Решение

---

Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

   Решение

---

В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.
Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?

   Решение

---

a ≡ 68 (mod 1967),   a ≡ 69 (mod 1968).  Найти остаток от деления a на 14.

   Решение

---

Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

   Решение

---

Дан угол в 30^o. Постройте окружность радиуса 2,5, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Найдите расстояние от центра окружности до вершины угла.

   Решение

---

На продолжениях сторон CA и AB треугольника ABC за точки A и B соответственно отложены отрезки AE = BC и BF = AC. Окружность касается отрезка BF в точке N, стороны BC и продолжения стороны AC за точку C. Точка M – середина отрезка EF. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла A.

   Решение

---

В пространстве даны три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке P. Обозначим через O_ijk центр сферы, проходящей через точки A_i, B_j, C_k и P. Докажите, что прямые O₁₁₁O₂₂₂, O₁₁₂O₂₂₁, O₁₂₁O₂₁₂ и O₂₁₁O₁₂₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

   Решение

---

Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.

   Решение

---

B треугольнике ABC угол A равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно  AB + AC.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116136  (#1)

Темы:   [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2 Классы: 10,11

Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116137  (#2)

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Даны радиусы r и R двух непересекающихся окружностей. Oбщие внутренние касательные этих окружностей перпендикулярны.
Hайдите площадь треугольника, ограниченного этими касательными, а также общей внешней касательной.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116138  (#3)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Дан четырёхугольник ABCD. A', B', C' и D' – середины сторон BC, CD, DA и AB соответственно. Известно, что  AA' = CC' и BB' = DD'.
Bерно ли, что ABCD – параллелограмм?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116139  (#4)

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

B треугольнике ABC угол A равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно  AB + AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116140  (#5)

Темы:   [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Есть два платка: один в форме квадрата, другой – в форме правильного треугольника, причём их периметры одинаковы.
Cуществует ли многогранник, который можно полностью оклеить этими двумя платками без наложений (платки можно сгибать, но нельзя резать)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями