Версия для печати
Убрать все задачи

---

По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.

   Решение

---

Назовём натуральные числа похожими, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

   Решение

---

Отличник Поликарп составил огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500: 123...10111213...499500. Двоечник Колька стёр у этого числа первые 500 цифр. Как вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

   Решение

---

Петя выбрал натуральное число  a > 1  и выписал на доску пятнадцать чисел  1 + a,  1 + a²,  1 + a³,  ...,  1 + a¹⁵.  Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116584  (#9.6)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Числа a и b таковы, что   a³ – b³ = 2,  a⁵ – b⁵ ≥ 4.   Докажите, что  a² + b² ≥ 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116592  (#10.6)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Разложение на множители ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Петя выбрал натуральное число  a > 1  и выписал на доску пятнадцать чисел  1 + a,  1 + a²,  1 + a³,  ...,  1 + a¹⁵.  Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116600  (#11.6)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Сочетания и размещения ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

В волейбольном турнире с участием 73 команд каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В конце турнира все команды разделили на две непустые группы так, что каждая команда первой группы одержала ровно n побед, а каждая команда второй группы – ровно m побед. Могло ли оказаться, что  m ≠ n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116585  (#9.7)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На стороне AC треугольника ABC отметили произвольную точку D. Точки E и F симметричны точке D относительно биссектрис углов A и C соответственно. Докажите, что середина отрезка EF лежит на прямой A₀C₀, где A₀ и C₀ – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC и AB соответственно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116586  (#10.7)

Темы:   [ Раскраски ] [ Шахматная раскраска ] [ Процессы и операции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан квадрат n×n. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2×2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную – в зелёный, а каждую зелёную – в белый. При каких n за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями