Версия для печати
Убрать все задачи

---

Волейбольная сетка имеет вид прямоугольника размером 50×600 клеток.
Какое наибольшее число верёвочек можно перерезать так, чтобы сетка не распалась на куски?

   Решение

---

Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А₁, В₁ и С₁ точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ₁С₁, А₁ВС₁, А₁В₁С, обозначив меньшую через S₁, среднюю – S₂, а большую – S₃. Докажите, что     где S – площадь треугольника А₁В₁С₁.

   Решение

---

Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям  x₁ = 1,  0 ≤ x₁ ≤ 2x₁,  0 ≤ x₃ ≤ 2x₂,  ...,  0 ≤ x₉₉ ≤ 2x₉₈,  0 ≤ x₁₀₀ ≤ 2x₉₉, так, чтобы выражение
x₁ – x₂ + x₃ – x₄ + ... + x₉₉ – x₁₀₀  было максимально.

   Решение

---

Докажите, что если для чисел a, b и c выполняются неравенства | a - b|| c|, | b - c|| a|, | c - a|| b|, то одно из этих чисел равно сумме двух других.

   Решение

---

Найдите наименьшее натуральное число $N>9$, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить семерку, то получится число, которое делится на 7.

   Решение

---

В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и n строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки A и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от A ровно в этих двух столбцах. Докажите, что  n ≥ 512.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116630  (#9.1)

Тема:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Приведённый квадратный трёхчлен P(x) таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что  P(0)P(1) = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116638  (#10.1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и n строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки A и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от A ровно в этих двух столбцах. Докажите, что  n ≥ 512.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116646  (#11.1)

Тема:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Натуральные числа d и  d' > d  – делители натурального числа n. Докажите, что  d' > d + ^d²/_n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116631  (#9.2)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116632  (#9.3)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Индукция в геометрии ] [ Подсчет двумя способами ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями