Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стороне BC параллелограмма ABCD  (∠A < 90°)  отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116646  (#11.1)

Тема:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3- Классы: 9,10,11

Натуральные числа d и  d' > d  – делители натурального числа n. Докажите, что  d' > d + ^d²/_n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116647  (#11.2)

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На стороне BC параллелограмма ABCD  (∠A < 90°)  отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116648  (#11.3)

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116649  (#11.4)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Выход в пространство ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116650  (#11.5)

Темы:   [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Даны два различных приведённых кубических многочлена F(x) и G(x). Выписали все корни уравнений  F(x) = 0,  G(x) = 0,  F(x) = G(x). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена F(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями