Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что BA₁/A₁C = CB₁/B₁A = AC₁/C₁B. Докажите, что центры масс треугольников ABC и A₁B₁C₁ совпадают.

   Решение

---

В квадрате 25×25 стоят числа 1 и –1. Вычислили все произведения этих чисел по строкам и по столбцам.
Доказать, что сумма этих произведений не равна нулю.

   Решение

---

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $BD$ и $CD$ и пересекающие $AC$ и $AB$ соответственно в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямая $EF$ делит отрезок $DH$ пополам.

   Решение

---

Найдите все двузначные числа, квадрат которых равен кубу суммы их цифр.

   Решение

---

Пусть натуральное число n таково, что  n + 1  делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 99]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30607  (#021)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что  11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹  делится на 133 при любом натуральном n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30608  (#022)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Пусть натуральное число n таково, что  n + 1  делится на 24. Докажите, что сумма всех натуральных делителей n делится на 24.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30609  (#023)

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел такова, что  a_n+2 = a_n+1a_n + 1 при всех n.
  а)  a₁ = a₂ = 1.  Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
  б) Докажите, что  a_n – 22  – составное число при любом n > 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30610  (#024)

Темы:   [ Признаки делимости на 2 и 4 ] [ Признаки делимости на 5 и 10 ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Докажите, что любое натуральное число сравнимо со своей последней цифрой по модулю
  а) 10;  б) 2;  в) 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30611  (#025)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 2 и 4 ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Докажите, что  a₁a₂...a_n–1a_n  ≡  a_n–1a_n (mod 4).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 99]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями