Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
>>
глава 10. Делимость-2
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?
б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?
Вдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то
дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других.
а) Найдите вероятность того, что при очередной замене придётся поменять ровно 4 фонаря.
б) Найдите математическое ожидание числа фонарей, которые придётся поменять при очередной замене.
В остроугольном треугольнике ABC AA1, BB1 и CC1 – высоты. Прямые AA1 и B1C1 пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг треугольников A1KC1 и A1KB1, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Докажите, что
а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC.
б)
Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом
AkOAk+1 на прямых
A1A2k, A2A2k–1, ..., AkAk+1, равна R.
Пусть p – простое число. Докажите, что (a + b)p ≡ ap + bp (mod p) для любых целых a и b.
Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь
окружность S и ее центр O, то с помощью одной линейки можно:
а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и
опустить на данную прямую перпендикуляр;
б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному
отрезку;
в) построить отрезок длиной ab/c, где a, b, c — длины данных
отрезков;
г) построить точки пересечения данной прямой l с окружностью,
центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного
отрезка;
д) построить точки пересечения двух окружностей, центры
которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.
Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство
Решить в целых числах уравнение x² + y² = x + y + 2.
В прямоугольном треугольнике ABC CH – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает больший катет AC в точке M. Точка B' симметрична точке B относительно H. В точке B' восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке K. Докажите, что:
а) B'M || BC;
б) AK – касательная к окружности.
Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке N. Описанные окружности треугольников ANB и CND повторно пересекают стороны BC и AD в точках A1, B1, C1, D1. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1 вписан в окружность с центром N.
Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.
Даны точки A и B, расстояние между которыми
больше 1 м. С помощью одной лишь линейки, длина которой равна 10 см,
постройте отрезок AB. (Линейкой можно только проводить прямые линии.)
Даны диаметр AB окружности и точка C на нем.
Постройте на этой окружности точки X и Y, симметричные относительно
прямой AB, так, чтобы прямые AX и YC были перпендикулярными.
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.
Решить в целых числах уравнение 15x² – 7y² = 9.
Анаграммой называется произвольное слово, полученное из данного слова
перестановкой букв. Сколько анаграмм можно составить из слов:
а) "точка"; б) "прямая"; в) "перешеек"; г) "биссектриса"; д) "абракадабра"; е) "комбинаторика"?
Докажите, что правильный треугольник можно
разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная
с шести.
Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только
положительные значения.
Докажите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых P(x) = a²(x) + b²(x).
Докажите, что все корни уравнения a(z – b)n = c(z – d )n, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.
Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что cdcdcdcd не делится на aabb.
Задачи Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 99]
Задача 30627 (#041) |
|
|
Пусть A – сумма цифр числа 44444444, а B – сумма цифр числа A. Найдите сумму цифр числа B.
|
|
Решение |
Задача 30628 (#042) |
|
|
Докажите, что a1a2...an = an – an–1 + ... + (–1)n (mod 11).
|
|
|
Решение |
Задача 30629 (#043) |
|
|
Докажите, что число 11...11 (2n единиц) – составное.
|
|
|
Решение |
Задача 30630 (#044) |
|
|
Докажите, что число a1a2...anan...a2a1 – составное.
|
|
|
Решение |
Задача 30631 (#045) |
|
|
Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что cdcdcdcd не делится на aabb.
|
|
Решение |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 99]
