Найдите периметр треугольника ABC, если известны координаты его вершин  A(–3, 5),  B(3, –3)  и точки  M(6, 1),  являющейся серединой стороны BC.

   Решение

Найдите периметр треугольника KLM, если известны координаты его вершин  K(–4, –3),  L(2, 5)  и точки  P(5, 1),  являющейся серединой стороны LM.

   Решение

Миша загадал число не меньше 1 и не больше 1000. Васе разрешено задавать только такие вопросы, на которые Миша может ответить «да» или «нет» (Миша всегда говорит правду). Может ли Вася за 10 вопросов определить загаданное число?

   Решение

На отрезке  [0, N]  отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, N],  целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка  [0, N]?

   Решение

Можно ли в клетках таблицы 2002×2002 расставить натуральные числа от 1 до 2002² так, чтобы для каждой клетки этой таблицы из строки или из столбца, содержащих эту клетку, можно было бы выбрать тройку чисел, одно из которых равно произведению двух других?

   Решение

На плоскости отмечено 6 красных, 6 синих и 6 зеленых точек, причем никакие три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Докажите, что сумма площадей треугольников с вершинами одного цвета составляет не более четверти суммы площадей всех треугольников с отмеченными вершинами.

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD , и проведены биссектрисы l_A , l_B , l_C , l_D внешних углов этого четырёхугольника. Прямые l_A и l_B пересекаются в точке K , прямые l_B и l_C – в точке L , прямые l_C и l_D – в точке M , прямые l_D и l_A – в точке N . Докажите, что если окружности, описанные около треугольников ABK и CDM , касаются внешним образом, то и окружности, описанные около треугольников BCL и DAN , касаются внешним образом.

   Решение

На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O₁, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O₂, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если  O₁A = O₂A,  то треугольник ABC равнобедренный.

   Решение

В угол вписаны две окружности; одна из них касается сторон угла в точках K₁ и K₂, а другая — в точках L₁ и L₂. Докажите, что прямая K₁L₂ высекает на этих двух окружностях равные хорды.

   Решение

Замостите плоскость одинаковыми пятиугольниками.

   Решение

Найти такие числа A,B,C,a,b,c , чтобы имело место тождество

   Решение

Решите ребус 250*ЛЕТ+МГУ=2005*ГОД. (Разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми - одинаковые; при этом некоторыми буквами могут быть обозначены уже имеющиеся цифры 2, 5 и 0.)
а) Найдите хотя бы одно решение ребуса;
б) Докажите, что других решений нет.

   Решение

Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

   Решение

Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1×30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо.
  а) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля?
  б) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за семь ходов?

   Решение

Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 559]      

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

Прислать комментарий

Решение

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать
  а) 4 карты разных мастей и достоинств?
  б) 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?

Прислать комментарий

Решение

Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

Прислать комментарий

Решение

Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой половине было по два туза?

Прислать комментарий

Решение

Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1×30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо.
  а) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля?
  б) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за семь ходов?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 73 74 75 76 77 78 79 >> [Всего задач: 559]