Версия для печати
Убрать все задачи

---

Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60^o . Докажите, что AC+BD1 .

   Решение

---

а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?
б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.

   Решение

---

В воздушном пространстве находятся облака. Оказалось, что пространство можно разбить десятью плоскостями на части так, чтобы в каждой из частей находилось не более одного облака. Через какое наибольшее число облаков мог пролететь самолет, придерживаясь прямолинейного курса?

   Решение

---

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если   а)  k = 3;   б)  k = 4;   в)  k = 6.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30760  (#011)

Темы:   [ Инварианты ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если   а)  k = 3;   б)  k = 4;   в)  k = 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30761  (#012)

Темы:   [ Инварианты ] [ Шахматная раскраска ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Фигура "верблюд" ходит по доске 10 × 10 ходом типа (1, 3) (то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1, 2)). Можно ли пройти ходом "верблюда" с какого-то исходного поля на соседнее с ним?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30763  (#014)

Темы:   [ Инварианты ] [ Вспомогательная раскраска ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Дно прямоугольной коробки вымощено плитками 1 × 4 и 2 × 2. Плитки высыпали из коробки и одна плитка 2 × 2 потерялась. Ее заменили на плитку 1 × 4. Докажите, что теперь дно коробки вымостить не удастся.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30764  (#015)

Темы:   [ Инварианты ] [ Вспомогательная раскраска ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Можно ли доску размерами 4 × N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30765  (#016)

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8

Иван-царевич имеет два волшебных меча, один из которых может отрубить Змею Горынычу 21 голову, а второй - 4 головы, но тогда у Змея Горыныча отрастает 1985 голов. Может ли Иван отрубить Змею Горынычу все головы, если в самом начале у него было 100 голов? (Примечание: если, например, у Змея Горыныча осталось лишь три головы, то рубить их ни тем, ни другим мечом нельзя).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями