Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите следующие неравенства непосредственно и при помощи неравенства Мюрхеда (задача 61424):
  а)  x⁴y²z + y⁴x²z + y⁴z²x + z⁴y²x + x⁴z²y + z⁴x²y ≥ 2(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³);
  б)  x⁵ + y⁵ + z⁵ ≥ x²y²z + x²yz² + xy²z²;
  в)  x³ + y³ + z³ + t³ ≥ xyz + xyt + xzt + yxt.
Значения переменных считаются положительными.

   Решение

---

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

   Решение

---

Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 31293  (#21)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Решить в целых числах:  ¹/_a + ¹/_b = ¹/_c,  b и c – простые.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31294  (#22)

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31295  (#23)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

Есть 100 купюр двух типов: по a и b рублей, причём  a ≠ b (mod 101).
Доказать, что можно выбрать несколько купюр так, что полученная сумма (в рублях) делится на 101.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31296  (#24)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Обыкновенные дроби ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

a) Решить в целых числах уравнение   ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c = 1.
б)   ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < 1  (a, b, c – натуральные числа). Доказать, что   ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c < ⁴¹/₄₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31297  (#25)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  n² + p  (p – простое).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями