Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Докажите, что x + 1/x ≥ 2 при x > 0.
РешениеВ квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник
вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не
менее чем 499 из этих треугольников.
РешениеИз точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Докажите, что если из точки M отрезок AO виден под углом 90o, то отрезки OB и OC видны из нее под равными углами.
РешениеСм. задачу 3 для 7 класса.
РешениеТочка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.
РешениеДан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают тремя кругами, центры которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.
РешениеНа плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.
РешениеДана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).
РешениеВ НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее x часов (x > 4). Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от x)?
РешениеКакое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?
РешениеВ плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P.
Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно.
а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник
KLMN – параллелограмм.
б) Найдите все такие точки.
РешениеСколькими способами число 1979 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел?
Решение
Задачи
Задача 32010 (#01) |
|
|
Сколькими способами число 1979 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел?
|
|
|
Решение |
Задача 32011 (#02) |
|
|
В соревнованиях участвуют 10 фигуристов. Соревнования судят трое судей следующим способом: каждый судья по-своему распределяет между фигуристами места (с первого по десятое), после чего победителем считается фигурист с наименьшей суммой мест. Какое наибольшее значение может принимать эта сумма у победителя (победитель единственный)?
|
|
Решение |
Задача 32012 (#03) |
|
|
В колоде 16 карт, пронумерованных сверху вниз. Разрешается снять часть колоды сверху, после чего снятую и оставшуюся части колоды, не переворачивая "врезать" друг в друга. Может ли случиться, что после нескольких таких операций карты окажутся пронумерованными снизу вверх? Если да, то за какое наименьшее число операций это может произойти?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 3]
