Каталог по источникам

Выбрано 15 задач

Одна из сторон параллелограмма равна 10, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.

Гуляя по Кенигсбергу, Леонард Эйлер захотел обойти город, пройдя по каждому мосту ровно один раз (см. рис.). Как ему это сделать?

Решение

Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми равен 60^o , касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.

Решение

Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если
а) s = 4; б) s = 5; в) s = 6; г) s = 7.
Определение диаграмм Юнга смотри в справочнике.

Решение

На прямой выбраны четыре точки A, B, C и D, причём AB = 1, BC = 2, CD = 4. Чему может быть равно AD?

Решение

Можно ли расположить на плоскости
а) 4 точки так, чтобы каждая из них была соединена отрезками с тремя другими (без пересечений)?
б) 6 точек и соединить их непересекающимися отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка?

Решение

Докажите, что уравнение ^x/_y + ^y/_z + ^z/_x = 1 неразрешимо в натуральных числах.

Решение

Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.

Решение

Два охотника отправились одновременно навстречу друг другу из двух деревень, расстояние между которыми 18 км. Первый шёл со скоростью 5 км/ч, а второй – 4 км/ч. Первый охотник взял с собой собаку, которая бежала со скоростью 8 км/ч. Собака сразу же побежала навстречу второму охотнику, встретила его, тявкнула, повернула и с той же скоростью побежала навстречу хозяину, и так далее. Так она бегала до тех пор, пока охотники не встретились. Сколько километров она пробежала?

Решение

98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?

Решение

Дано n окружностей: O₁, O₂,...O_n, проходящих через одну точку O. Вторые точки пересечения O₁ с O₂, O₂ с O₃,..., O₃ с O₁ обозначим соответственно через A₁, A₂,..., A_n. На O₁ берем произвольную точку B₁. Если B₁ не совпадает с A₁, то проводим через B₁ и A₁ прямую до второго пересечения с O₂ в точке B₂. Если B₂ не совпадает с A₂, то проводим через B₂ и A₂ прямую до второго пересечения с O₃ в точке B₃. Продолжая таким образом, мы получим точку B_n на окружности O_n. Если O_n не совпадает с A_n, то проводим через B_n и A_n прямую до второго пересечения с O₁ в точке B_{n + 1}. Докажите, что B_{n + 1} совпадает с B₁.

Решение

Представьте следующие рациональные числа в виде десятичных дробей:
а) ¹/₇; б) ²/₇; в) ¹/₁₄; г) ¹/₁₇.

Решение

а) Какое наибольшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно незакрашенное поле?
б) Какое наименьшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно чёрное поле?

Решение

Даны два треугольника: ABC и A₁B₁C₁. Известно, что AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки K и L, а на сторонах A₁C₁ и B₁C₁ треугольника A₁B₁C₁ – точки K₁ и L₁ так, что AK = A₁K₁, LC = L₁C₁. Докажите, что KL = K₁L₁ и AL = A₁L₁.

Решение

На международный конгресс приехало 578 делегатов из разных стран. Любые три делегата могут поговорить между собой без помощи остальных (при этом, возможно, одному из них придется переводить разговор двух других). Докажите, что всех делегатов можно поселить в двухместных номерах гостиницы таким образом, чтобы любые двое, живущие в одном номере, могли поговорить без посторонней помощи.

Решение

Задача 32795

Задача 32840

Задача 58081

Задача 79641

Задача 88306