Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

M — середина высоты BD в равнобедренном треугольнике ABC. Точка M служит центром окружности радиуса MD. Найдите угловую величину дуги окружности, заключённой между сторонами BA и BC, если $\angle$ BAC = 65^o.

Решение

Какое наименьшее количество трехклеточных уголков можно разместить в квадрате 8× 8 так, чтобы в этот квадрат больше нельзя было поместить ни одного такого уголка?

Решение

Высота конуса равна h , а образующая равна l . Найдите радиус основания и площадь осевого сечения.

Решение

Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.

Решение

Дан угол в 30^o. Постройте окружность радиуса 2,5, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Найдите расстояние от центра окружности до вершины угла.

Решение

В пространстве даны точки O₁, O₂, O₃ и точка A. Точка A симметрично отражается относительно точки O₁, полученная точка A₁ -- относительно O₂, полученная точка A₂ — относительно O₃. Получаем некоторую точку A₃, которую также последовательно отражаем относительно O₁, O₂, O₃. Доказать, что полученная точка совпадает с A.

Решение

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
а) p^q + q^p ≡ p + q (mod pq);

б) – чётное число, если p, q ≠ 2.

Решение

Пусть p и q – различные простые числа. Сколько делителей у числа
а) pq;
б) p²q;
в) p²q²;
г) p^mqⁿ?

Решение

Матч Бавария – Спартак окончился со счетом 5 : 8. Докажите, что в матче был такой момент, когда Спартаку оставалось забить столько мячей, сколько Бавария уже забила к этому времени.

Решение

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

Решение

В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны AC. Найдите угол B треугольника.

Решение

Средняя линия, параллельная стороне AC треугольника ABC, равна половине стороны AB. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

Два шара одного радиуса и два – другого расположены так, что каждый шар касается трёх других и одной плоскости. Найдите отношение радиуса большего шара к радиусу меньшего.

Решение

Окружность касается всех сторон равнобедренной трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии.

Решение

Задача 54125

Задача 54163

Задача 54166

Задача 54167

Задача 54233