- Вводные задачи (5 задач)
- параграф 1. Углы, опирающиеся на равные дуги (14 задач)
- параграф 2. Величина угла между двумя хордами (7 задач)
- параграф 3. Угол между касательной и хордой (10 задач)
- параграф 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (9 задач)
- параграф 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (12 задач)
- параграф 6. Вписанный угол и подобные треугольники (15 задач)
- параграф 7. Биссектриса делит дугу пополам (5 задач)
- параграф 8. Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями (9 задач)
- параграф 9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке (6 задач)
- параграф 10. Точка Микеля (5 задач)
- параграф 11. Разные задачи (7 задач)
Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1.
Докажите, что если am + bm делится на an + bn, то m делится на n.
а) Докажите, что существует единственное аффинное
преобразование, которое переводит данную точку O в данную
точку O', а данный базис векторов
e1,
e2 —
в данный базис
e1',
e2'.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите,
что существует единственное аффинное преобразование, переводящее
точку A в A1, B — в B1, C — в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует
единственное аффинное преобразование, которое один из них
переводит в другой.
Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]
Задача 56541 (#02.001) |
|
|
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
|
|
Решение |
Задача 56542 (#02.002) |
|
|
Две окружности пересекаются в точках M и K.
Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно,
пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую
в точках B и D. Докажите, что
AC || BD.
|
|
Решение |
Задача 56543 (#02.003) |
|
|
Из произвольной точки M, лежащей внутри данного
угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ
на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK
на отрезок PQ. Докажите, что
PAK =
MAQ.
|
|
|
Решение |
Задача 56544 (#02.004) |
|
|
а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC
пересекает описанную окружность в точке M; O — центр
вписанной окружности, Ob — центр вневписанной окружности,
касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и Ob
лежат на окружности с центром M.
б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает
тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через
центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO
и ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности
треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 56545 (#02.005) |
|
|
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A движется так, что его
вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Докажите, что
множеством точек A является отрезок и найдите его длину.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]
