В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.

   Решение

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a²(1 + b⁴) + b²(1 + a⁴) ≤ (1 + a⁴)(1 + b⁴).

   Решение

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

   Решение

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a³b + b³c + c³a ≥ abc(a + b + c).

   Решение

На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из нее проведены касательные AP и AQ; M — середина отрезка PQ. Докажите, что  MKO = MLO.

   Решение

Докажите неравенство   3(a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) ≥ (a₁ + a₂ + a₃)(b₁ + b₂ + b₃)  при  a₁ ≥ a₂ ≥ a₃,  b₁ ≥ b₂ ≥ b₃.

   Решение

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

   Решение

Восстановите треугольник ABC по вершине B, центру тяжести и точке пересечения L симедианы, проведённой из вершины B, с описанной окружностью.

   Решение

Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Докажите, что существует единственная пара точек $M$, $N$, лежащих соответственно на сторонах $AC$, $BC$, такая, что $\angle AIM = \angle BIN$ и $MN \parallel AB$.

   Решение

(Продолжение задачи 32796)
  Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_1, BH_2, CH_3$, которые пересекаются в ортоцентре $H$. Точки $P$ и $Q$ симметричны $H_2$ и $H_3$ относительно $H$. Описанная окружность треугольника $PH_1Q$ пересекает во второй раз высоты $BH_2$ и $CH_3$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что $RS$ – средняя линия треугольника $ABC$.

   Решение

На Солнечном острове живет 20 белых и 25 чёрных хамелеонов (хамелеоны – это животные, умеющие менять свой цвет). При встрече оба хамелеона меняют свой цвет на противоположный. Могут ли все хамелеоны окраситься в один цвет?

   Решение

На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.

   Решение

Докажите, что граф, имеющий пять вершин, каждая из которых соединена ребром со всеми остальными, не является плоским.

   Решение

Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?

   Решение

Компания из нескольких друзей вела переписку так, что каждое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?

   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписанный, причем  AB || DE и  BC || EF. Докажите, что  CD || AF.

   Решение

В начале года в 7 классе учились 25 человек. После того как туда пришли семеро новеньких, процентный состав отличников увеличился на 10 (если в начале года он был a%, то теперь –  (a + 10)%).  Сколько теперь отличников в классе?

   Решение

Две окружности касаются в точке A. К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках C и B. Докажите, что  CAB = 90^o.

   Решение

Каждое ребро полного графа с 11 вершинами покрашено в один из двух цветов: красный или синий.
Докажите, что либо "красный", либо "синий" граф не является плоским.

   Решение

На окружности, описанной около четырехугольника $ABCD$, отмечены точки $M$ и $N$ – середины дуг $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что $MN$ делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанных окружностей треугольников $ABC$ и $ADC$.

   Решение

Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причем точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что  BK = | AK - CK|/ и  DK = (AK + CK)/.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]      

Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причем точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что  BK = | AK - CK|/ и  DK = (AK + CK)/.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AA₁ и BB₁. Докажите, что если  CAA₁ = CBB₁, то AC = BC.

Прислать комментарий

Решение

Все углы треугольника ABC меньше  120^o. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом  120^o.

Прислать комментарий

Решение

Окружность разделена на равные дуги n диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

На окружности даны точки A, B, M и N. Из точки M проведены хорды MA₁ и MB₁, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что  AA₁ || BB₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]