Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 4. Площадь
>>
параграф 5. Разные задачи
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
В треугольнике ABC высота AH равна медиане BM.
Найдите угол MBC.
а) Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD
пересекаются в точке P. Известны площади треугольников ABP, BCP, CDP.
Найдите площадь треугольника ADP.
б) Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на
четыре треугольника, площади которых выражаются целыми
числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет
собой точный квадрат.
Даны параллелограмм ABCD и некоторая точка M.
Докажите, что
SACM = | SABM±SADM|.
Докажите, что треугольник ABC является правильным
тогда и только тогда, когда при повороте на
60o (либо по
часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B
переходит в C.
Докажите, что при n ≠ 4 правильный n-угольник
нельзя расположить так, чтобы его вершины оказались
в узлах целочисленной решетки.
На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах
клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или
на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.
Докажите, что при повороте окружность переходит в окружность.
На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M
и K соответственно, причем
BAM =
MAK. Докажите,
что BM + KD = AK.
На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A1
и B1, а на стороне CD — точки C1 и D1,
причем
AA1 = BB1 = pAB и
CC1 = DD1 = pCD, где p < 0, 5. Докажите,
что
SA1B1C1D1/SABCD = 1 - 2p.
Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что PC = QC.
На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины
отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN
выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]
Задача 56776 |
|
|
Даны параллелограмм ABCD и некоторая точка M.
Докажите, что
SACM = | SABM±SADM|.
|
|
Решение |
Задача 56777 |
|
|
На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним
образом построены параллелограммы; P — точка пересечения
продолжений их сторон, параллельных AB и BC. На стороне AC
построен параллелограмм, вторая сторона которого равна
и параллельна BP. Докажите, что его площадь равна сумме
площадей первых двух параллелограммов.
|
|
Решение |
Задача 111658 |
|
|
Точка O, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.
|
|
|
Решение |
Задача 56779 |
|
|
Продолжения сторон AD и BC выпуклого
четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M
и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины
диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а)
SPMQN = | SABD - SACD|/2;
б)
SOPQ = SABCD/4.
|
|
|
Решение |
Задача 56780 |
|
|
На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины
отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN
выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]
