Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов траектория движения точки замкнется.

Вниз   Решение


Докажите, что середины параллельных хорд эллипса лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение


Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).

ВверхВниз   Решение


У Царя Гвидона было 5 сыновей. Среди его потомков 100 имели каждый ровно по 3 сына, а остальные умерли бездетными.
Сколько потомков было у царя Гвидона?

ВверхВниз   Решение


Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

ВверхВниз   Решение


Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |bc – ad| = 1.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A1 и B1 – середины сторон BC и AC, а B2 и C2 – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A1B1 и B2C2 пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      



Задача 56882

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A1 и B1 – середины сторон BC и AC, а B2 и C2 – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A1B1 и B2C2 пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55462

Темы:   [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Периметр треугольника ]
[ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56881

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Разложение на множители ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть  x = sin 18°.  Докажите, что  4x² + 2x = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56883

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56892

Темы:   [ Треугольники (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что  AB1 : B1C = cn : an,  BC1 : C1A = an : bn  и  CA1 : A1B = bn : cn  (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A1B1C1 высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .