Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 5. Треугольники
>>
параграф 7. Теорема Менелая
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.
Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число 1, 2, 3, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?
На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1
и C1. Пусть P1 — произвольная точка прямой BC,
P2 — точка пересечения прямых P1B1 и AB, P3 — точка
пересечения прямых P2A1 и CA, P4 — точка
пересечения
P3C1 и BC и т. д. Докажите, что точки P7 и P1
совпадают.
Каждый из двух правильных многоугольников P и Q разрезали прямой на две части. Одну из частей P и одну из частей Q сложили друг с другом по линии разреза. Может ли получиться правильный многоугольник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть сторон?
Имеется набор из 20 гирь, с помощью которых можно взвесить любой целый вес
от 1 до 1997 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каков минимально возможный вес самой тяжелой гири такого набора, если:
а) веса гирь набора все целые,
б) веса не обязательно целые?
В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Точки A1 и B1 симметричны точкам A и B относительно прямой CL, A2 и B2 симметричны точкам A и B относительно точки L. Пусть O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AB1B2 и BA1A2. Докажите, что углы O1CA и O2CB равны.
Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.
а) Укажите два прямоугольных треугольника, из
которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь
которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины
сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник
можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными
сторонами.
Каково наибольшее n, при котором так можно расположить n точек на плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного треугольника?
Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD
пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в
точке Q. Через точку P проведена прямая, пересекающая стороны BC
и AD в точках E и F. Докажите, что точки пересечения диагоналей
четырехугольников
ABCD, ABEF и CDFE лежат на прямой, проходящей
через точку Q.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
Задача 56908 |
|
|
На одной прямой взяты точки A1, B1 и C1, а на
другой — точки A2, B2 и C2. Прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C, A
и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной
прямой (Папп).
|
|
Решение |
Задача 56909 |
|
|
На сторонах AB, BC и CD четырехугольника ABCD
(или на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL
и AC пересекаются в точке P, LM и BD — в точке Q.
Докажите, что точка пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой AD.
|
|
|
Решение |
Задача 56910 |
|
|
Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD
пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в
точке Q. Через точку P проведена прямая, пересекающая стороны BC
и AD в точках E и F. Докажите, что точки пересечения диагоналей
четырехугольников
ABCD, ABEF и CDFE лежат на прямой, проходящей
через точку Q.
|
|
Решение |
Задача 56911 |
|
|
а) Через точки P и Q проведены тройки прямых.
Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис.
Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или
параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка
пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.
|
|
|
Решение |
Задача 56912 |
|
|
На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1
и C1. Пусть P1 — произвольная точка прямой BC,
P2 — точка пересечения прямых P1B1 и AB, P3 — точка
пересечения прямых P2A1 и CA, P4 — точка
пересечения
P3C1 и BC и т. д. Докажите, что точки P7 и P1
совпадают.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]
