Гениальные математики. а) Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?" Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.)
б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала известно, что данные числа не превосходят 1000?

   Решение

Найти корни уравнения   

   Решение

Пусть  ka ≡ kb (mod m),  k и m взаимно просты. Тогда  a ≡ b (mod m).

   Решение

Дан выпуклый n-угольник A₁...A_n. Пусть P_i  (i = 1, ..., n)  – такая точка на его границе, что прямая A_iP_i делит его площадь пополам. Известно, что все точки P_i не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?

   Решение

Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.

   Решение

В треугольнике ABC отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону AB, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.

   Решение

Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда p > 2R + r.

   Решение

а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

На одной прямой взяты точки A₁, B₁ и C₁, а на другой — точки A₂, B₂ и C₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁, B₁C₂ и B₂C₁, C₁A₂ и C₂A₁ пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой (Папп).

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC и CD четырехугольника ABCD (или на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL и AC пересекаются в точке P, LM и BD — в точке Q. Докажите, что точка пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD — в точке Q. Через точку P проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках E и F. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников  ABCD, ABEF и CDFE лежат на прямой, проходящей через точку Q.

Прислать комментарий

Решение

а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.

Прислать комментарий

Решение

На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁. Пусть P₁ — произвольная точка прямой BC, P₂ — точка пересечения прямых P₁B₁ и AB, P₃ — точка пересечения прямых P₂A₁ и CA, P₄ — точка пересечения P₃C₁ и BC и т. д. Докажите, что точки P₇ и P₁ совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]