Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]

Задача 56934

[Прямая Симсона]

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56935

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Точки A, B и C лежат на одной прямой, точка P — вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABP, BCP, ACP и точка P лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 56936

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем DM $\perp$ BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56937

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA₁, PB₁ и PC₁ под данным (ориентированным) углом $\alpha$ к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A₁, B₁ и C₁ лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла 90^o на угол $\alpha$ она повернется на угол 90^o - $\alpha$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 56938

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA₁ и PB₁ на прямые BC и AC. Докажите, что PA^.PA₁ = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A₁B₁.
б) Пусть $\alpha$ — угол между прямыми A₁B₁ и BC. Докажите, что cos $\alpha$ = PA/2R.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]