Дан квадрат n×n. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2×2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную – в зелёный, а каждую зелёную – в белый. При каких n за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?

   Решение

Имеется 100 камней. Два игрока берут по очереди от 1 до 5 камней. Проигрывает тот, кто берет последний камень.
Определите выигрышную стратегию первого игрока.

   Решение

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников  BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      

Точки A, B, C и P лежат на окружности с центром O. Стороны треугольника A₁B₁C₁ параллельны прямым PA, PB, PC ( PA| B₁C₁ и т. д.). Через вершины треугольника A₁B₁C₁ проведены прямые, параллельные сторонам треугольника ABC.
а) Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке P₁, которая лежит на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.
б) Докажите, что прямая Симсона точки P₁ параллельна прямой OP.

Прислать комментарий

Решение

Хорда PQ описанной окружности треугольника ABC перпендикулярна стороне BC. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC параллельна прямой AQ.

Прислать комментарий

Решение

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность; l_a — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые l_b, l_c и l_d определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников  BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]