Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 110]

Задача 57020 (#06.010.2)

Тема:

[

Описанные четырехугольники

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то

$\displaystyle {\frac{1}{r_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_c}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_d}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57021 (#06.010.3)

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Окружности S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₄, S₄ и S₁ касаются внешним образом. Докажите, что четыре общие касательные (в точках касания окружностей) либо пересекаются в одной точке, либо касаются одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 57022 (#06.011)

Тема:

[

Описанные четырехугольники

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Прислать комментарий Решение

Задача 57023 (#06.012)

Тема:

[

Вписанные четырехугольники (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD вписанный; H_c и H_d — ортоцентры треугольников ABD и ABC. Докажите, что CDH_cH_d — параллелограмм.

Прислать комментарий Решение

Задача 55536 (#06.013)

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность; O₁, O₂, O₃, O₄ — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Докажите, что O₁O₂O₃O₄ -- прямоугольник.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 110]