- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Вписанные и описанные четырехугольники (20 задач)
- параграф 2. Четырехугольники (16 задач)
- параграф 3. Теорема Птолемея (11 задач)
- параграф 4. Пятиугольники (4 задачи)
- параграф 5. Шестиугольники (6 задач)
- параграф 6. Правильные многоугольники (24 задачи)
- параграф 7. Вписанные и описанные многоугольники (10 задач)
- параграф 8. Произвольные выпуклые многоугольники (5 задач)
- параграф 9. Теорема Паскаля (10 задач)
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
На плоскости даны три вектора
a,
b,
c, причем
a +
b +
c = 0. Докажите, что
эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины
тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |
|, |
|,
|
| можно составить треугольник.
На одной прямой взяты точки A1, B1 и C1, а на
другой — точки A2, B2 и C2. Прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C, A
и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной
прямой (Папп).
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.
Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.
Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он
правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.
Задачи Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 110]
Задача 57065 (#06.055B) |
|
|
а) Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно
параллельны. Докажите, что этот шестиугольник вписанный тогда и только тогда,
когда его диагонали AD, BE и CF равны.
б) Докажите аналогичное утверждение для невыпуклого
(возможно, самопересекающегося) шестиугольника.
|
|
Решение |
Задача 57066 (#06.053) |
|
|
Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он
правильный;
б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.
|
|
Решение |
Задача 57067 (#06.054) |
|
|
Все углы выпуклого многоугольника A1...An равны, и из некоторой его внутренней точки O все стороны видны под равными углами.
Докажите, что этот многоугольник правильный.
|
|
|
Решение |
Задача 57068 (#06.055) |
|
|
Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем стянута так, чтобы узел стал плоским (см. рис.).
Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 57069 (#06.056) |
|
|
На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.
|
|
|
Решение |
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 110]
