Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.

   Решение

Деревянный брусок тремя распилами распилили на восемь меньших брусков. На рисунке у семи брусков указана их площадь поверхности.
Какова площадь поверхности невидимого бруска?

   Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁ и биссектрисы AA₂ и BB₂; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A₃ и B₃. Докажите, что прямые  A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ пересекаются в одной точке или параллельны.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

Прислать комментарий

Решение

Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что точки пересечения прямых MA₁ и BC, MB₁ и CA, MC₁ и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

Прислать комментарий

Решение

Даны треугольник ABC и некоторая точка T. Пусть P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки T на прямые AB и AC соответственно, a R и S — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые TC и TB соответственно. Докажите, что точка пересечения X прямых PR и QS лежит на прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁ и биссектрисы AA₂ и BB₂; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A₃ и B₃. Докажите, что прямые  A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃ пересекаются в одной точке или параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность S; X — произвольная точка, M и N — вторые точки пересечения прямых XA и XD с окружностью S. Прямые DC и AX, AB и DX пересекаются в точках E и F. Докажите, что точка пересечения прямых MN и EF лежит на прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]