Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 7. Геометрические места точек
- Вводные задачи (5 задач)
- параграф 1. ГМТ - прямая или отрезок (10 задач)
- параграф 2. ГМТ - окружность или дуга окружности (8 задач)
- параграф 3. Вписанный угол (5 задач)
- параграф 4. Вспомогательные равные треугольники (3 задачи)
- параграф 5. Гомотетия (4 задачи)
- параграф 6. Метод ГМТ (6 задач)
- параграф 7. ГМТ с ненулевой площадью (4 задачи)
- параграф 8. Теорема Карно (8 задач)
- параграф 9. Окружность Ферма-Аполлония (3 задачи)
Фильтр
Выбрана 21 задача Убрать все задачи
На плоскости даны точки A1 , A2 , An и точки B1 ,
B2 , Bn . Докажите, что точки Bi можно
перенумеровать так, что для всех i j
угол между векторами
и
– острый или прямой.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA,
BHB и CHC.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AHBHC, BHAHC и CHAHB равен треугольнику HAHBHC.
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не
превосходит удвоенного числа в его середине.
Назовем билет с номером от 000000 до 999999 отличным, если разность некоторых двух соседних цифр его номера равна 5.
Найдите число отличных билетов.
Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?
Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого P(x) + P(1 – x) ≡ 1.
Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?
На диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана
точка K, для которой KD = DC, ∠BAC = ½ KDC, ∠DAC = ½ ∠KBC.
Докажите, что ∠KDA = ∠BCA или ∠KDA = ∠KBA.
В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила n+1/4.
Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?
Докажите, что из всех треугольников данной площади равносторонний имеет наименьший периметр.
На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для
которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.
Известно, что уравнение ax5 + bx4 + c = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение cx5 + bx + a = 0 также имеет три различных корня.
На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли
одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2002.
Какие числа остались на доске?
Квадратные трёхчлены P(x) = x² + ax + b и Q(x) = x² + cx + d таковы, что уравнение P(Q(x)) = Q(P(x)) не имеет действительных корней.
Докажите, что b ≠ d .
Города A , B , C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше, чем расстояние от D до A , а расстояние от C до B меньше, чем расстояние от D до B . Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B , меньше, чем расстояние от D до этой точки.
На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого.)
Даны две непересекающиеся окружности. Найдите
геометрическое место точек центров окружностей, делящих
пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально
противоположных точках).
На столе лежат n спичек (n > 1). Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от 1 до n – 1, а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек, чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все n, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.
Найдите все простые p, для каждого из которых существуют такие натуральные x и y, что px = y³ + 1.
Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое
место точек пересечения касательных к окружности, проведенных
через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]
Задача 57134 (#07.006) |
|
|
На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для
которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.
|
|
Решение |
Задача 57135 (#07.007) |
|
|
Даны окружность S и точка M вне ее. Через точку M
проводятся всевозможные окружности S1, пересекающие окружность S; X — точка пересечения касательной в точке M к окружности S1
с продолжением общей хорды окружностей S и S1. Найдите ГМТ X.
|
|
Решение |
Задача 57136 (#07.008) |
|
|
Даны две непересекающиеся окружности. Найдите
геометрическое место точек центров окружностей, делящих
пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально
противоположных точках).
|
|
|
Решение |
Задача 57137 (#07.009) |
|
|
Внутри окружности взята точка A. Найдите геометрическое
место точек пересечения касательных к окружности, проведенных
через концы всевозможных хорд, содержащих точку A.
|
|
|
Решение |
Задача 57138 (#07.010) |
|
|
а) Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что
величина
AX2 + CX2 - BX2 - DX2 не зависит от выбора точки X.
б) Четырехугольник ABCD не является параллелограммом.
Докажите, что все точки X, удовлетворяющие
соотношению
AX2 + CX2 = BX2 + DX2, лежат на одной прямой,
перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]
