Дан неравнобедренный треугольник ABC. Точка O – центр его описанной окружности, а точка K – центр описанной окружности ω треугольника BCO. Высота треугольника ABC, проведенная из точки A, пересекает окружность ω в точке P. Прямая PK пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках E и F. Докажите, что один из отрезков EP и FP равен отрезку PA.

   Решение

В треугольнике $ABC$ $AA_1$, $CC_1$ – высоты, $P$ – произвольная точка на стороне $BC$. Точка $Q$ на прямой $AB$ такова, что $QP=PC_1$, а точка $R$ на прямой $AC$ такова, что $RP=CP$. Докажите, что четырехугольник $QA_1RA$ вписанный.

   Решение

Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число =0, 10715.. ). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано N цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем N он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?

   Решение

Пусть  x = ab + bc + ca, x₁ = m_am_b + m_bm_c + m_cm_a. Докажите, что  9/20 < x₁/x < 5/4.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

Докажите, что  | a² - b²|/(2c) < m_c (a² + b²)/(2c).

Прислать комментарий

Решение

Пусть  x = ab + bc + ca, x₁ = m_am_b + m_bm_c + m_cm_a. Докажите, что  9/20 < x₁/x < 5/4.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.

Прислать комментарий

Решение

Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC высота AM не меньше BC, а высота BH не меньше AC. Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]