Докажите, что геометрическая прогрессия {a_n} = bx₀ⁿ удовлетворяет соотношению (11.2 ) тогда и только тогда, когда x₀ -- корень характеристического уравнения (11.3 ) последовательности {a_n}.

   Решение

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки M и K соответственно, причем BAM = MAK. Докажите, что BM + KD = AK.

   Решение

Ось симметрии многоугольника пересекает его стороны в точках A и B. Докажите, что точка A является либо вершиной многоугольника, либо серединой стороны, перпендикулярной оси симметрии.

   Решение

Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что этот четырехугольник либо является равнобедренной трапецией, либо симметричен относительно диагонали.

   Решение

Пусть  x = ab + bc + ca, x₁ = m_am_b + m_bm_c + m_cm_a. Докажите, что  9/20 < x₁/x < 5/4.

   Решение

Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.

   Решение

Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)

   Решение

Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии.

   Решение

В треугольнике ABC проведены медиана CM и высота CH. Прямые, проведенные через произвольную точку P плоскости перпендикулярно CA, CM и CB, пересекают прямую CH в точках A₁, M₁ и B₁. Докажите, что A₁M₁ = B₁M₁.

   Решение

Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD окружности проходит через точку M и пересекает прямую AB под углом в 45°.
Докажите, что величина  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

   Решение

В треугольнике ABC высота AM не меньше BC, а высота BH не меньше AC. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]      

Докажите, что  | a² - b²|/(2c) < m_c (a² + b²)/(2c).

Прислать комментарий

Решение

Пусть  x = ab + bc + ca, x₁ = m_am_b + m_bm_c + m_cm_a. Докажите, что  9/20 < x₁/x < 5/4.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в любом треугольнике сумма длин высот меньше периметра.

Прислать комментарий

Решение

Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC высота AM не меньше BC, а высота BH не меньше AC. Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 100]