Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если многоугольник имеет четное число осей симметрии, то он имеет центр симметрии.

Вниз   Решение


Даны четыре попарно непараллельных вектора  a, b, c и  d, сумма которых равна нулю. Докажите, что

|a| + |b| + |c| + |d| > |a + b| + |a + c| + |a + d|.


ВверхВниз   Решение


Около единичного квадрата ABCD описана окружность, на которой выбрана точка М.
Какое наибольшее значение может принимать произведение MA·MB·MC·MD?

ВверхВниз   Решение


В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано "МА", на остальных – "НЯ". Каждый ребёнок взял три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово "МАМА" могут сложить из своих карточек 20 детей, слово "НЯНЯ" – 30 детей, а слово "МАНЯ" – 40 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?

ВверхВниз   Решение


Постройте замкнутую шестизвенную ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно один раз.

ВверхВниз   Решение


Турист шел 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость равна 5 км/час?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что три прямые, симметричные произвольной прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


Через точку A проведена прямая l, пересекающая окружность S с центром O в точках M и N и не проходящая через O. Пусть M' и N' — точки, симметричные M и N относительно OA, а A' — точка пересечения прямых MN' и M'N. Докажите, что A' совпадает с образом точки A при инверсии относительно S (и, следовательно, не зависит от выбора прямой l).

ВверхВниз   Решение


Даны три вершины вписанного и описанного четырехугольника. Постройте его четвертую вершину.

ВверхВниз   Решение


Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединён ровно с пятнадцатью?

ВверхВниз   Решение


Через точку S проведены прямые a, b, c и d; прямая l пересекает их в точках A, B, C и D. Докажите, что величина  AC . BD/(BC . AD) не зависит от выбора прямой l.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 82]      



Задача 57587  (#12.006)

Тема:   [ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Через точку S проведены прямые a, b, c и d; прямая l пересекает их в точках A, B, C и D. Докажите, что величина  AC . BD/(BC . AD) не зависит от выбора прямой l.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57588  (#12.007)

Тема:   [ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке O, и произвольная точка P. Прямая l, проходящая через точку P, пересекает прямые a и b в точках A и B. Докажите, что величина  (AO/OB)/(PA/PB) не зависит от выбора прямой l.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57589  (#12.008)

Тема:   [ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Обозначим вершины и точки звеньев (неправильной) пятиконечной звезды так, как показано на рис. Докажите, что

A1C . B1D . C1E . D1A . E1B = A1D . B1E . C1A . D1B . E1C.




Прислать комментарий     Решение

Задача 57590  (#12.009)

Тема:   [ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Два подобных равнобедренных треугольника имеют общую вершину. Докажите, что проекции их оснований на прямую, соединяющую середины оснований, равны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57591  (#12.010)

Тема:   [ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9

На окружности с диаметром AB взяты точки C и D. Прямая CD и касательная к окружности в точке B пересекаются в точке X. Выразите BX через радиус окружности R и углы  $ \varphi$ = $ \angle$BAC и  $ \psi$ = $ \angle$BAD.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 82]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .