Каталог по источникам

Выбрано 7 задач

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол при вершине A равен 80°. Внутри треугольника ABC взята точка M так, что
∠MBC = 30° и ∠MCB = 10°. Найдите величину угла AMC.

Решение

При помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число целое.

Решение

а) Пусть {a₁, a₂,..., a_n} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n}, {a₂, ..., a_n, a₁}, ..., {a_n, a₁, ..., a_n–1} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

б) Выведите отсюда равенства: где (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2) – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Решение

Пусть – производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству

C(x) = xC²(x) + 1,

и получите явный вид функции C(x).
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Решение

Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи 61519 и равенством где
– обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Решение

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол при вершине B равен 20^o. На сторонах BC и AB взяты точки D и E соответственно так, что $\angle$ DAC = 60^o и $\angle$ ECA = 50^o. Найдите угол ADE.

Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса BE и на стороне BC взята точка K так, что $\angle$ AKB = 2 $\angle$ AEB. Найдите величину угла AKE, если $\angle$ AEB = $\alpha$ .

Решение

Задача 57638 (#12.055)

Задача 57639 (#12.056)

Задача 57640 (#12.057)

Задача 57641 (#12.058)

Задача 57642 (#12.059)