Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 59]

Задача 57706 (#13.024)

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 5
Классы: 9

На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек P₁,..., P_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что | $\overrightarrow{OP}_{1}^{}$ +...+ $\overrightarrow{OP}_{2n+1}^{}$ | $\ge$ 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 57707 (#13.025)

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 6
Классы: 9

Пусть a₁,a₂,...,a_n — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂...±a_n можно выбрать знаки так, что |c| $\le$ $\sqrt{2}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57708 (#13.026)

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n - 2k.

Прислать комментарий Решение

Задача 57709 (#13.027)

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 2
Классы: 9

Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{OX}$ = t $\overrightarrow{OA}$ + (1 - t) $\overrightarrow{OB}$ для некоторого t и любой точки O.

Прислать комментарий Решение

Задача 57710 (#13.028)

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 2
Классы: 9

Дано несколько точек и для некоторых пар (A, B) этих точек взяты векторы $\overrightarrow{AB}$ , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна $\overrightarrow{0}$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 59]