На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁ ^. PA₂ + PB₁ ^. PB₂ + PC₁ ^. PC₂ = R² - OP², где O — центр описанной окружности.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 60]      

а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX² = BX² + CX².
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника ABC прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

Прислать комментарий

Решение

Хорды AA₁, BB₁ и CC₁ окружности с центром O пересекаются в точке X. Докажите, что (AX/XA₁) + (BX/XB₁) + (CX/XC₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диаметром OM, где M — центр масс треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁ ^. PA₂ + PB₁ ^. PB₂ + PC₁ ^. PC₂ = R² - OP², где O — центр описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n²R².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 60]