Какое из двух чисел больше:

  а)     (100 двоек) или     (99 троек);

  б)     (100 троек) или     (99 четвёрок).

   Решение

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. В треугольнике AOB проведены высоты AA₁ и BB₁, а в треугольнике COD — высоты CC₁ и DD₁. Докажите, что точки  A₁, B₁, C₁ и D₁ лежат на одной прямой.

   Решение

Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника: а) через 3 шага с точностью до 0,3; б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?

   Решение

Точки A₁,..., A_n лежат на одной окружности, а M — их центр масс. Прямые MA₁,..., MA_n пересекают эту окружность в точках B₁,..., B_n (отличных от A₁,..., A_n). Докажите, что MA₁ +...+ MA_nMB₁ +...+ MB_n.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 60]      

Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть d_a, d_b и d_c — расстояния от точки P до сторон треугольника, R_a, R_b и R_c — расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(d_a² + d_b² + d_c²)(R_asin A)² + (R_bsin B)² + (R_csin C)².

Прислать комментарий

Решение

Точки A₁,..., A_n лежат на одной окружности, а M — их центр масс. Прямые MA₁,..., MA_n пересекают эту окружность в точках B₁,..., B_n (отличных от A₁,..., A_n). Докажите, что MA₁ +...+ MA_nMB₁ +...+ MB_n.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состоит из n "уголков" и k прямоугольников размером 1×4, изображенных на рис. Докажите, что n четно.

Прислать комментарий

Решение

Решите задачу 13.44, используя свойства центра масс.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 60]