Версия для печати
Убрать все задачи
Король решил поощрить группу из $n$ мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направлении), на каждого наденут чёрную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или чёрный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно $k$ из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или чёрный цвет и число вне зависимости от договорённостей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе мудрецы, независимо от местонахождения безумных в очереди?
Решение
В треугольнике
ABC проведены отрезки
PQ и
RS,
параллельные стороне
AC, и отрезок
BM (рис.). Трапеции
RPKL
и
MLSC описанные. Докажите, что трапеция
APQC тоже описанная.
Решение
Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.
Решение
Точка
X лежит внутри треугольника
ABC. Прямые,
проходящие через точку
X параллельно
AC и
BC, пересекают
сторону
AB в точках
K и
L соответственно. Докажите, что
барицентрические координаты точки
X равны
(
BL :
AK :
LK).
Решение
Фильтр
