Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что:
а)  a = r(ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2)) = r cos($ \alpha$/2)/(sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2));
б)  a = ra(tg($ \beta$/2) + tg($ \gamma$/2)) = racos($ \alpha$/2)/(cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2));
в)  p - b = rctg($ \beta$/2) = ratg($ \gamma$/2);
г)  p = ractg($ \alpha$/2).

Вниз   Решение


На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.

ВверхВниз   Решение


Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A1, B1, C1 — на прямой l1. Докажите, что точки пересечения прямых AB1 и BA1, BC1 и CB1, CA1 и AC1 лежат на одной прямой (Папп).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  27Rr $ \leq$ 2p2 $ \leq$ 27R2/2.

ВверхВниз   Решение


Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеток вырезано 99 квадратиков размером 2×2 клетки. Докажите, что из него можно вырезать еще один такой квадратик.

ВверхВниз   Решение


Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



Задача 58212  (#24.007)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Разрезания на параллелограммы ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

На бесконечном листе клетчатой бумаги N клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате K площадь черных клеток составит не менее  1/5 и не более  4/5 площади K.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58213  (#24.011)

Тема:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что для любого n существует окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58214  (#24.012)

Тема:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58215  (#24.008)

 [Теорема Минковского]
Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Докажите, что эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58216  (#24.009)

Тема:   [ Теорема Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса $ \sqrt{n^2+1}$ с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < $ {\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}}$, то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .