Каталог по источникам

Выбрано 8 задач

Найдите периметр треугольника KLM, если известны координаты его вершин K(–4, –3), L(2, 5) и точки P(5, 1), являющейся серединой стороны LM.

Решение

Дан четырехугольник ABCD, причем AB < BC и AD < DC. Точка M лежит на диагонали BD. Докажите, что AM < MC.

Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

Решение

Докажите, что каждое целое число A представимо в виде

A = a₀ + 2a₁ + 2²a₂ +...+ 2ⁿa_n,

где каждое из чисел a_k = 0, 1 или -1 и a_ka_{k + 1} = 0 для всех 0 $\leqslant$ k $\leqslant$ n - 1, причем такое представление единственно.

Решение

Автор: Токарев С.И.

Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.
(Каждый простой делитель учитывается один раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)

Решение

1 > x > y > 0. Докажите, что

Решение

Вычислите

sin $\displaystyle \left(\vphantom{2\hbox{\rm arctg\ }\frac{1}{5}-\hbox{\rm arctg\ }\frac{5}{12}}\right.$ 2arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ - arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{12}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{2\hbox{\rm arctg\ }\frac{1}{5}-\hbox{\rm arctg\ }\frac{5}{12}}\right)$ .

Решение

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

a $\displaystyle \le$ 2b - 2 - $\displaystyle \sum$ ( $\displaystyle \lambda$ (P) - 2),

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

Решение

Задача 58250 (#25.009.1)

Задача 58251 (#25.010.1)

Задача 58252 (#25.011.1)

Задача 58253 (#25.012.1)

Задача 58254 (#25.034)