Даны три окружности. Первая и вторая пересекаются в точках $A_0$ и $A_1$, вторая и третья – в точках $B_0$ и $B_1$, третья и первая – в точках $C_0$ и $C_1$. Пусть $O_{i,j,k}$ – центр описанной окружности треугольника $A_i B_j C_k$. Через все пары точек вида $O_{i,j,k}$ и $O_{1-i,1-j,1-k}$ провели прямые. Докажите, что эти 4 прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

   Решение

На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.

   Решение

Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 64]      

Докажите, что круг можно разбить на отрезки.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что плоскость можно разбить на отрезки.

Прислать комментарий

Решение

На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их длин не превосходила 2.

Прислать комментарий

Решение

Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый пятиугольник, все углы которого тупые. Докажите, что в нем найдутся две такие диагонали, что круги, построенные на них как на диаметрах, полностью покроют весь пятиугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 64]