Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки C1, A1 и B1 так, что  ∠(CC1, AB) = ∠(AA1, BC) = ∠(BB1, CA) = α.  Прямые AA1 и BB1, BB1 и CC1, CC1 и AA1 пересекаются в точках C', A', B' соответственно. Докажите, что:
  а) точка пересечения высот треугольника ABC совпадает с центром описанной окружности треугольника A'B'C';
  б) треугольники A'B'C' и ABC подобны, причём коэффициент подобия равен  2 cos α.

Вниз   Решение


В треугольнике $ABC$ ($a>b>c$) указаны инцентр $I$, а также точки $K$ и $N$ касания вписанной окружности со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Проведя не более трёх линий одной линейкой, постройте отрезок длины $a-c$.

ВверхВниз   Решение


Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1 и A2B — точка окружности S, а K1 и K2 — вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2 касается окружности S1, то она касается и окружности S2.

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны точки A(1;2) , B(2;1) , C(3;-3) , D(0;0) . Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ AC ?

ВверхВниз   Решение


Окружности радиусов ta, tb, tc касаются внутренним образом описанной окружности треугольника ABC в его вершинах A, B, C и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что

ta = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$,    tb = $\displaystyle {\frac{Rh_b}{b+h_b}}$,    tc = $\displaystyle {\frac{Rh_c}{c+h_c}}$.

ВверхВниз   Решение


Пусть O — центр описанной окружности (неправильного) треугольника ABCM — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая OM перпендикулярна медиане CC1 тогда и только тогда, когда  a2 + b2 = 2c2.

ВверхВниз   Решение


Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

ВверхВниз   Решение


Даны четыре окружности  S1, S2, S3 и S4, причем окружности Si и Si + 1 касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S5 = S1). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

ВверхВниз   Решение


Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a1 . 1! + a2 . 2! + a3 . 3! +...,

где 0 $ \leqslant$ a1 $ \leqslant$ 1, 0 $ \leqslant$ a2 $ \leqslant$ 2, 0 $ \leqslant$ a3 $ \leqslant$ 3...

ВверхВниз   Решение


Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: R=σ ST4 , где σ = 5,7· 10-8  — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = · 1010 м2 , а излучаемая ею мощность P не менее 0,57· 1011 , определите наименьшую возможную температуру этой звезды.

ВверхВниз   Решение


Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

ВверхВниз   Решение


На плоскости расположено несколько непересекающихся отрезков. Всегда ли можно соединить концы некоторых из них отрезками так, чтобы получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



Задача 58300

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58301

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499SABC?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58302

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

На бесконечном листе клетчатой бумаги (размер клетки 1×1) укладываются кости домино размером 1×2 так, что они накрывают все клетки. Можно ли при этом добиться того, чтобы любая прямая, идущая по линиям сетки, разрезала лишь конечное число костей?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58303

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Может ли конечный набор точек содержать для каждой своей точки ровно 100 точек, удаленных от нее на расстояние 1?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58304

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

На плоскости расположено несколько непересекающихся отрезков. Всегда ли можно соединить концы некоторых из них отрезками так, чтобы получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .