Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 31. Эллипс, парабола, гипербола
>>
параграф 5. Пучки коник
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и
только тогда, когда ma > a/2.
На плоскости взяты шесть точек A1, A2, A3, B1, B2, B3.
Докажите, что если описанные окружности треугольников
A1A2B3,
A1B2A3 и B1A2A3 проходят через одну точку, то и описанные
окружности треугольников B1B2A3, B1A2B3 и A1B2B3
пересекаются в одной точке.
AL – биссектриса треугольника ABC, K – такая точка на стороне AC, что CK = CL. Прямая KL и биссектриса угла B пересекаются в точке P.
Докажите, что AP = PL.
Взяли три числа x, y, z. Вычислили абсолютные величины попарных разностей x1 = |x - y|, y1 = |y - z|, z1 = |z - x|. Тем же способом по числам x1, y1, z1 построили числа x2, y2, z2 и т.д. Оказалось, что при некотором n xn = x, yn = y, zn = z. Зная, что x = 1, найти y и z.
Докажите, что для любого n существует окружность, на которой
лежит ровно n целочисленных точек.
Докажите, что проективное преобразование прямой
однозначно определяется образами трех произвольных точек.
Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?
Пусть хорды KL и MN проходят через
середину O хорды AB. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую
AB в точках, равноудаленных от точки O.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]
Задача 58518 (#31.051) |
|
|
Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что
|
|
Решение |
Задача 58519 (#31.052) |
|
|
Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то
точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и
DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).
|
|
|
Решение |
Задача 58520 (#31.053) |
|
|
а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите,
что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB
пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности.
Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и
ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).
|
|
|
Решение |
Задача 58521 (#31.054) |
|
|
Пусть хорды KL и MN проходят через
середину O хорды AB. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую
AB в точках, равноудаленных от точки O.
|
|
Решение |
Задача 58522 (#31.055) |
|
|
Пусть стороны самопересекающихся
четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность,
пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и
P', Q', R', S'
соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q,
и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с
соответственными тремя из точек
P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже
совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины
четырехугольников.)
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]
