Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости даны 9 точек (см. рисунок). Перечеркните их все четырьмя прямыми отрезками, не отрывая карандаша от бумаги.

   Решение

---

В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

   Решение

---

В соревнованиях участвуют 10 фигуристов. Соревнования судят трое судей следующим способом: каждый судья по-своему распределяет между фигуристами места (с первого по десятое), после чего победителем считается фигурист с наименьшей суммой мест. Какое наибольшее значение может принимать эта сумма у победителя (победитель единственный)?

   Решение

---

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD. P - точка пересечения диагоналей.
Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности R.

   Решение

---

Сколько существует способов разрезать выпуклый (n+2)-угольник диагоналями на треугольники?

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 [Всего задач: 110]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60448  (#02.114)

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Сколько существует способов разрезать выпуклый (n+2)-угольник диагоналями на треугольники?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60449  (#02.115)  [Маршруты ладьи]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим шахматную доску n×n. Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60450  (#02.116)  [Очередь в кассу]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60451  (#02.117)  [Формула для чисел Каталана]

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Комбинаторика орбит ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

  а) Пусть  {a₁, a₂,..., a_n}  – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a₁, a₂, ..., a_n},  {a₂, ..., a_n, a₁},  ...,  {a_n, a₁, ..., a_n–1}  все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.

  б) Выведите отсюда равенства:      где  (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2)  – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
  Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60452  (#02.118)  [Рекуррентное соотношение для чисел Каталана]

Тема:   [ Числа Каталана ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению   C_n = C₀C_n–1 + C₁C_n–2 + ... + C_n–1C₀.
Определение чисел Каталана C_n смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 [Всего задач: 110]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями