Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 3. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
>>
параграф 1. Простые числа
Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник - нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов - это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше - очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.
Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.
Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Докажите неравенство для натуральных n > 1:
D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.
Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD;
A1, B1, C1
и D1 — центры описанных окружностей треугольников
BCD, CDA, DAB
и ABC. Аналогично для четырехугольника
A1B1C1D1 определяются
точки
A2, B2, C2 и D2. Докажите, что четырехугольники ABCD
и
A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен
|(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.
Пусть {pn} – последовательность простых чисел (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...).
а) Докажите, что pn > 2n при n ≥ 5.
б) При каких n будет выполняться неравенство pn > 3n?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
Задача 60473 (#03.021) |
|
|
Верно ли, что многочлен P(n) = n² + n + 41 при всех n принимает только простые значения?
|
|
Решение |
Задача 60474 (#03.022) |
|
|
Пусть {pn} – последовательность простых чисел (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...).
а) Докажите, что pn > 2n при n ≥ 5.
б) При каких n будет выполняться неравенство pn > 3n?
|
|
Решение |
Задача 60475 (#03.023) |
|
|
Докажите неравенство pn+1 < p1p2...pn (pk – k-е простое число).
|
|
|
Решение |
Задача 60476 (#03.024) |
|
|
Верно ли, что все числа вида p1p2...pn + 1 являются простыми? (pk – k-е простое число.)
|
|
|
Решение |
Задача 60477 (#03.025)[Числа Евклида] |
|
|
Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2, en = e1e2...en–1 + 1 (n ≥ 2). Все ли числа en являются простыми?
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
