Версия для печати
Убрать все задачи

---

Коля Васин задумал число от 1 до 31 включительно и выбрал из 5 данных карточек

те, на которых это число присутствует. Как, зная эти карточки, угадать задуманное число? Какими должны быть карточки, чтобы по ним можно было угадывать числа от 1 до 63?

   Решение

---

Карточный фокус. а) Берется колода из 27 карт (без одной масти). Ваш друг загадывает одну из карт. После чего вы раскладываете все карты в три равные кучки, кладя каждый раз по одной карте (в первую кучку, затем во вторую, затем в третью, потом снова в первую и т. д.). Ваш друг указывает на ту кучку, в которой лежит его карта. Далее вы складываете все три кучки вместе, вставляя при этом указанную кучку между двумя другими. Эта процедура повторяется еще два раза. На каком месте в колоде окажется загаданная карта, после того, как вы сложите вместе три кучки в третий раз?
б) На каком месте окажется загаданная карта, если с самого начала было 3n (n < 9) карт?

   Решение

---

Каждое из рёбер полного графа с 18 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть четыре вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

   Решение

---

Для последовательности {a_n}

Докажите, что a_n = 0.

   Решение

---

Докажите, что для любого плоского графа (в том числе и несвязного) справедливо неравенство  E ≤ 3V – 6.

   Решение

---

Докажите, что для плоского связного графа справедливо неравенство  E ≤ 3V – 6.

   Решение

---

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 85]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60864  (#05.026)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

При каких натуральных a и b число log_ab будет рациональным?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60865  (#05.027)

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Докажите, что при x≠πn (n– целое) sin x и cos x рациональны тогда и только тогда, когда число tg  рационально.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60866  (#05.028)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60867  (#05.029)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60868  (#05.030)

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Правильные многоугольники ] [ Метод спуска ] [ Доказательство от противного ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  n ≠ 4  не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 85]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями